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ほんま

数学
コーナー
ここは,自称数学者ほんまやすしの研究紹介コーナーです.
一般の方は気分が悪くなるのでこの部屋の立ち入りを禁止いたします.
研究内容 参考文献 ディラック星人 論文などのダウンロード
     
研究内容
Dirac作用素に関連した幾何学,解析学,表現論,数理物理などの研究
(専門は微分幾何学と大域解析学ということになります)
その他に,研究というより勉強していること.
シンプレクティック幾何学,ゲージ理論,モース理論,幾何学的可積分系,数理物理など


ディラック作用素のうんちく
Diracにより相対論的電磁気学のために導入されたディラック作用素は、 Atiyahら
により一般のリーマン多様体上へ拡張され、幾何学、大域解析学、物理学などの様
々な分野へ応用されている。 ディラック作用素とは一言で言えば、ラプラシアン
の平方根となる一階の微分作用素で、 スピノール場の空間に作用するものである。
その微分作用素の係数行列はクリフォード代数とい う代数を生成し、それ自体、数
学、物理学で重要な対象である。ディラック作用素とクリフォード代数,スピノー
ルなどが使われる数学は,例えば
  • Atiya-Singer指数定理
    多様体上の楕円型微分作用素の解析的指数が多様体位相不変量を与えるもの。
    リーマンロッホ定理の一般化
  • 指数定理の一般化
    族の指数定理、群作用指数定理、境界付き多様体上の指数定理、
    非コンパクト多様体上の指数定理、非可換幾何での指数定理などなど
  • スピン幾何
    スピノールを用いて微分幾何をする。Friedrich, Baum, Baer
    (いわゆるドイツディラック星人たち), Lawson, Michelsohnなど
  • ツイスター理論
    共形幾何を複素幾何に変換する。ペンローズ変換やADHM構成など。
    手始めにAtiyah, N. J. Hitchin, and I. M. Singerの論文がいいと思う。
  • クリフォード解析
    関数論をディラック作用素を用いて高次元化する。マニア向けだと思う。
    例えば、クリフォード-コーシー核なんてのもある。RyanとかSommenなど。
    APS型境界値問題などとも関係してる
  • 調和解析学
    これは単にディラック作用素も用いて調和解析をやる。
    クリフォード解析もそのようなもの。
  • フェルミオン-スペクトル幾何
    ラプラシアンのスペクトル幾何をボゾンのスペクトル幾何といい、
    ディラック作用素の幾何をフェルミオンスペクトル幾何とよぶ(by Baer)。
    ラプラス作用素と違いディラック作用素の場合にはスペクトル流とか
    η不変量なんかが定義できる。これは、固有値が-∞から+∞まであるため。
  • 曲面論、部分多様体論
    クリフォード代数とディラック作用素を使って、曲面論、部分多様体論:
    (Pinkallらの本Quaternions,spinors and surfaceなどを参照)。
    曲面論も四元数やクリフォード代数を使うとうまく行くことが多い(とても見やすくなる)。
  • 古典群の表現論やK理論との関係
    スピン群などの古典群とクリフォード代数の関係。またクリフォード代数
    をつかってK群のBott周期性がでる(これらは基本的なこと)。
  • 工学への応用
    どうもよくしりませんが工学でも重要。ロボット工学などなど。
    こちらの人たちはクリフォード代数をGeometric Algebraといいます。
    Gemoetric algebraで検索すると、かなり引っかかります。
    興味のある人はしらべて見るといいと思う。
などなど、ディラック作用素やクリフォード代数はいろんなところでお見かけする。
これらを研究することが目的です。さてディラック作用素はスピノール束上の共変微
分の既約分解とも見なせます。そこで一般の同伴束の共変微分を分解した一階微分作
用素を最近は研究しています。これらは、ツイスター作用素、外微分、余微分、共形
キリング作用素、ラリタシュインガー作用素、ツイスター幾何での高スピンディラッ
ク作用素など、幾何ででてくる一階の微分作用素のほとんどを含みます。つまり、デ
ィラック作用素を一般化した幾何学的一階微分作用素の研究です。最近わかった定理

ボホナーワイゼンベック公式=古典群の高次カシミール元の間の恒等式